Πετάει-πετάει

Η πρακτική εφαρμογή των Νόμων της Φύσης και η επίδρασή τους στην καθημερινή ζωή μας μου κέντριζε πάντα το ενδιαφέρον και έκανε την φαντασία μου να ταξιδεύει. Βλέποντας πρόσφατα ένα video, ξαναθυμήθηκα ένα παλιό ερώτημα που προκύπτει από τη Θεωρία της Σχετικότητας -Ειδική και Σχετική. Και αυτό με έκανε να διαβάσω και τη Θεμελίωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας.

Το ερώτημα είναι το εξής:

Όταν κάποιος ταξιδεύει με αεροπλάνο, ο χρόνος τρέχει πιο αργά για αυτόν (σύμφωνα με την Ειδική Θεωρία, όσο αυξάνεται η ταχύτητα διαστέλλεται ο χρόνος). Ταυτόχρονα, όταν βρίσκεται στον αέρα -και επομένως πιο μακριά από την Γη- η βαρύτητα της Γης προκαλεί μικρότερη στρέβλωση του χωροχρόνου, οπότε ο χρόνος τρέχει ταχύτερα, καθώς η βαρύτητα είναι μικρότερη (Γενική Θεωρία). Ποια επίδραση στο χρόνο είναι μεγαλύτερη; Της βαρύτητας ή της ταχύτητας; Και ποιο είναι το τελικό αλγεβρικό άθροισμα αυτών των επιδράσεων;

Λίγο googling απέφερε αρκετά site με τις θαυμαστές εξισώσεις του Einstein. Ανάλογο πρόβλημα είχε προκύψει εδώ και πολλά χρόνια, στην προσπάθεια διόρθωσης των υπολογισμών του GPS. Οπότε, η λύση είχε υπολογιστεί και εφαρμόζεται καθημερινά στα navigator. Δείτε την εφαρμογή των εξισώσεων στην περίπτωση των δορυφόρων του GPS εδώ. Η προσπάθεια επίλυσης του παραπάνω προβλήματος στηρίχθηκε βασικά σε αυτό.

Ας δούμε λοιπόν πώς προσέγγισα το πρόβλημα:

Ειδική Θεωρία της Σχετικότητα (επίδραση της ταχύτητας)

Σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα, όσο πλησιάζουμε την ταχύτητα του φωτός, ο χρόνος διαστέλλεται και το μήκος (η διάσταση η παράλληλη προς τον διεύθυνση της κίνησης) συστέλλεται. Σε μικρές βέβαια ταχύτητες η μεταβολή είναι απειροελάχιστη, ωστόσο αυτή ακριβώς θα προσπαθήσουμε να βρούμε.

Ο λόγος της μεταβολής του χρόνου του κινούμενου αντικειμένου προς τη μεταβολή του χρόνου του παρατηρητή είναι:

\dfrac {\Delta t_{a}}{\Delta t_{E}}=\dfrac {1} { \left( 1- \cfrac {v^2}{c^2} \right) ^{1/2}}

όπου:

  • \Delta t_{a}, η «διάρκεια» της μονάδας του χρόνου μέσα στο αεροσκάφος,
  • \Delta t_{E}, η «διάρκεια» της μονάδας του χρόνου στην επιφάνεια της Γης (στον Ισημερινό),
  • c, η ταχύτητα του φωτός (299.792.458 m s-1),
  • v, η σχετική ταχύτητα κινούμενου αντικειμένου-παρατηρητή (ένα Boeing τρέχει με περίπου 900 km h-1 ή 250 m s-1)

Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη παίρνουμε:

\dfrac {\Delta t_{a}}{\Delta t_{E}}=\dfrac {1} { \left( 1- \cfrac {250^2}{299792458^2} \right) ^{1/2}}=1,00000000000035

Επομένως, ο χρόνος μέσα στο αεροσκάφος -λόγω της ταχύτητάς του- τρέχει πιο αργά 1,00000000000035 φορές από ό,τι στην επιφάνεια της Γης. Αυτό σημαίνει ότι στο τέλος μιας τρίωρης πτήσης, ένα ρολόι μέσα στο αεροσκάφος θα πηγαίνει

\Delta t_{a}-\Delta t_{E}=(1,00000000000035-1) \times 3600 \times 3=0,00000000376 \; \text s\\

ή 3,76 ns πίσω.

Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (επίδραση της βαρύτητας)

Η Γενική Σχετικότητα προβλέπει ότι ο χωροχρόνος στρεβλώνεται, με αποτέλεσμα ο χρόνος να επιβραδύνει κοντά σε μεγάλες συγκεντρώσεις ύλης. Σε μικρά βαρυτικά πεδία η μεταβολή είναι απειροελάχιστη, ωστόσο και εδώ αυτή ακριβώς θα προσπαθήσουμε να βρούμε.

Ο λόγος της μεταβολής του χρόνου του απομακρυσμένου αντικειμένου προς τη μεταβολή του χρόνου του πλησιέστερου προς το βαρυτικό πεδίο αντικειμένου είναι:

\dfrac {\Delta t_{a}}{\Delta t_{E}}=\dfrac {\left(1- \dfrac {k}{R+h} \right) ^{-1/2}} {\left(1- \dfrac {k}{R} \right) ^{-1/2}}

όπου:

  • k \equiv \dfrac {2MG}{c^2}=0,00887, όπου:
    • M, η μάζα της Γης (5,98 x 1024 kg),
    • G, η βαρυτική σταθερά (6,67 x 10-11 m3kg-1s-2)
  • R, η ακτίνα της Γης (6,39 x 106 m),
  • h, το ύψος πτήσης του αεροσκάφους (ένα Boeing πετάει στα περίπου 10.000 m)

Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη παίρνουμε:

\dfrac {\Delta t_{a}}{\Delta t_{E}}=\dfrac {\left(1- \dfrac {0,00887}{6390000+10000} \right) ^{-1/2}} {\left(1- \dfrac {0,00887}{6390000} \right) ^{-1/2}}=0,9999999999989

Επομένως, ο χρόνος μέσα στο αεροσκάφος -λόγω της απόστασής του από την επιφάνεια της Γης- τρέχει πιο γρήγορα 0,9999999999989 φορές από ό,τι στην επιφάνεια της Γης. Αυτό σημαίνει ότι στο τέλος μιας τρίωρης πτήσης, ένα ρολόι μέσα στο αεροσκάφος θα πηγαίνει

\Delta t_{a}-\Delta t_{E}=(0,9999999999989-1) \times 3600 \times 3=-0,0000000117578 \; \text s\\

ή 11,76 ns μπροστά.

Όπως φαίνεται η επιβράδυνση του χρόνου λόγω του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της είναι περίπου 3 φορές μεγαλύτερη από τη διαστολή του χρόνου λόγω της ταχύτητας του αεροσκάφους.

Συνολικά, το ρολόι μέσα στο αεροσκάφος θα πηγαίνει 11,76-3,76=8 ns πιο μπροστά, από το ρολόι ενός παρατηρητή στην επιφάνεια του πλανήτη. Ή αλλιώς, ύστερα από μια τρίωρη πτήση, ο ταξιδιώτης θα έχει γεράσει κατά 8 ns περισσότερο από τον παρατηρητή που δεν ταξιδεύει.

Όποιος λοιπόν θέλεις να κερδίσει μερικά nanoseconds ζωής, ας καθίσει στ’ αυγά του και να αφήσει τις πτήσεις με αεροσκάφη!

Βέβαια, ίσως θα πρέπει να υπολογίσω και τη γενικότερη επίδραση του ταξιδιού στον ψυχισμό του ταξιδευτή και του παρατηρητή. Αυτό όμως, σε κάποιο άλλο post.